Dans sa nécrologie de Benoit Mandelbrot, Alexandre Delaigues rappel l’irruption de la marche aléatoire en finance. Bien qu’utilisant quotidiennement des mouvement browniens et des marches aléatoires dans mes recherches, je n’avais jusque la aucune idée de leurs origines. Le post d’econoclaste se focalise sur l’utilisation de se paradigme en finance et les corollaires qui en découlent : impossibilité de prédire les mouvements futures des séries en analysant leurs passés, liens avec la théorie des marchés efficients, etc. Les travaux de Mandelbrot avait pour but de conduire a un changement de paradigme en utilisant des modèles mieux a mêmes d’expliquer la multitudes d’évènements extrêmes que l’on observe dans les séries financières.

L’objet du présent poste n’est pas de discuté ces deux paradigmes, je ne suis pas qualifié pour le faire, mais de parler d’un autre domaine de l’analyse économique que l’introduction des marches aléatoires a révolutionné.

Les séries macro on une tendance connue a avoir un certain degré de persistance. Les brusques changements (chocs) qui les affectent ne se résorbent pas automatiquement. Ce séries sont bien décrite par des marches aléatoires. Le modèle le plus simple de marche aléatoire est: {x_t=x_{t-1} + \epsilon_t}. L’évolution de cette série est complètement déterminée par son passé et par des chocs aléatoires. Au temps t la meilleur prédiction possible de la valeur de la série a la période {t+1} est tout simplement {x_t}. Dans ce cas, impossible de prédire l’avenir par l’étude du passe.

On peu réécrire cette série sous la forme {x_T = x_0 + \displaystyle\sum_{t=1}^{T}\epsilon_t}. Cette formulation met en évidence que c’est l’accumulation des chocs dans le temps qui détermine la série. Cette accumulation de choc est appelée une tendance stochastique (stochastic trend). La série est dite intégrée d’ordre 1, I(1). Imaginons maintenant une série {y_t} qui suit aussi une marche aléatoire conduite par la même tendance stochastique. On parle alors de tendance stochastique commune (common stochastic trend). Il est alors possible de trouver une combinaison de ces variables telle que bien que ces deux variables soit I(1), leur combinaison ne contient pas de tendance stochastique. Ces séries sont dite cointegree. On dis que leur combinaison est stationnaire, ou I(0), c’est a dire une série dont les chocs se dissipent et qui une tendance a retourne a sa moyenne. En identifiant les combinaisons de variables qui annulent les tendances stochastiques communes, on identifie des relations d’équilibres de long terme. Cette équilibre n’est pas nécessairement satisfait a chaque période. Par contre on sais que le système va avoir tendance a retourner vers son équilibre de long terme, on parle de correction d’erreur. En étudiant les dynamique de correction on peu savoir comment le système va retourner a l’équilibre, quelles variables s’ajustent pour ramener le système a l’équilibre et quelles variables « poussent » le système.

Cette approche de la dynamique des systèmes de séries contenant des marches aléatoires est très riche. Elle permet de tester de nombreuses hypothèses sur les équilibres de long terme et les dynamique d’ajustement. Je compte écrire une série de post sur le sujet. D’abord comment formuler tout modèle macro-économique dynamique contenant un état d’équilibre en un système de variables cointegrees avec un mécanisme de correction d’erreur. Aussi un (ou plusieurs) billets un peu plus technique, notamment sur la méthode de Johansen (béni soit son nom) qui offre un cadre d’analyse riche et flexible de ces systèmes.

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